教学目标

复习正比例函数、反比例函数的图象和性质；复习一次函数的图象和性质；复习二次函数的图象和性质.

教学重点和难点

重点：二次函数的图象、性质和应用.

难点：灵活运用二次函数的图象和性质解题.(像求函数的最大值、最小值及图象解法等)

教学过程设计

(一)复习提要

在复习时，要掌握以下十七个概念及有关知识.

1.正比例函数的概念；

2.正比例函数的图象；

3.正比例函数的性质.

4.反比例函数的概念；

5.反比例函数的图象；

6.反比例函数的性质.

7.一次函数的概念；

8.一次函数的图象和性质；

9.方程Ax+By+C=0的图象.

10.二次函数的概念；

11.二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质；

12.二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质；

13.二次函数y=ax²+bx+c的的图象的顶点坐标公式，对称轴方程；

14.二次函数y=ax²+bx+c的图象的画法；

15.根据已知条件求二次函数的解析式；

16.求二次函数y=ax²+bx+c的最大值、最小值.

*17.用图象法解二次不等式.

(二)复习课的例题

例1 已知a，b是常数，且y+b与x+a成正比例.求证：y是x的一次函数.

分析：应写出y+b与x+a成正比例的表达式，然后判断所得结果是否符合一次函数定义.

证明：由已知，有y+b=k(x+a)，其中k≠0.

整理，得y=kx+(ka－b).　　　①

因为k≠0且ka－b是常数，故y=kx+(ka－b)是x的一次函数式.

例2   填空：如果直线方程ax+by+c=0中，a＜0，b＜0且bc＜0，则此直线经过第    象限.

分析：先把ax+by+c=0化为.因为a＜0，b＜0，所以.

又bc＜0，即＜0，故－＞0.相当于在一次函数y=kx+l中，k=－＜0，l=－＞0，此直线与y轴的交点(0，－)在x轴上方.且此直线的向上方向与x轴正方向所成角是钝角，

所以此直线过第一、二、四象限.

例3  一次函数图象与反比例函数y=的图象的交点坐标分别是P(m，4)，Q(－1，m)

(A)y=4x+3  (B)y=－4x+3  (C)y=x+3   (D)y=4x－3

分析：把P，Q两点坐标代入反比例函数式y=，得即P点坐标是

 

(14，4)，Q点坐标是(－1，－1).设一次函数式的解析式是y=kx+b.把P，Q坐标代入，得.所求直线为y=4x+3.先(A).

例4  把反比例函数y=与二次函数y=kx²(k≠0)画在同一个坐标系里，正确的是(   ).

答：选(D).这两个函数式中的k的正、负号应相同(图13－110).

例5  对于二次函数y=x²－2ax+2a+3.分别满足下列条件，求系数a的值.

(1)图象与x轴没有交点；

(2)函数式为完全平方；

(3)函数的最小值为零；

(4)当x＞5时，y随x增大而增大，且x＜5时，y随x增大而减小；

(5)图象的顶点位置最高，并求这个顶点的坐标；

(6)图象在x轴上截得的线段长是3.

解：(1)令y=0，则二次函数y=x²－2ax+2a+3变为二次方程x²－2ax+2a+3=0.函数图象与x轴没有交点，相当于二次方程没有实数解.

由Δ=(－2a)²－4(2a+3)=4(a²－2a－3).令Δ＜0，即a²－2a－3＜0.用图象法解此二次不等式.设y=a²－2a－3(这里把a看作自变量).

此图象与横轴交点的横坐标是方程a²－2a－3=0的解.即a₁=3，a₂=－1.使函数y=a²－2a－3的纵坐标为负值，即图象在横轴下方，这时的横坐标a应满足－1＜a＜3，(图13－111).

所以－1＜a＜3时，y=x²－2ax+2a+3的图象与x轴没有交点；

(2)对于二次三项式ax²+bx+c(a＞0)，当且仅当b²－4ac=0时，ax²+bx+c=a(x－x₁)(x－x₂)=[(x－x₁)］²，这个二次三项式是完全平方.由Δ=(－2)²－4(2a+3)=0，得a₁=3，a₂=－1.故a=3或a=－1时y=x²－2ax+2a+3是完全平方；

(3)把函数y=x²－2ax+2a+3配方成y=(x+h)²+k的形式，y=x²－2ax+a²+(－a²+2a+3)=(x－a)²+(－a²+2a+3).因为y(x－a)²+(－a²+2a+3)≥－a²+2a+3.所以y最小值是－a²+2a+3.由已知最小值为0，令－a²+2a+3=0，得a=3，a=－1;

(4)由已知可知，此图象的对称轴为5，即=5，得a=5；

(5)要使图象的顶点位置最高，应求顶点纵坐标的最大值.顶点纵坐标.用配方法求最大值.－a²+2a+3=－(a²－2a+1－1)+3=－(a－1)²+4≤4.所以当a=1时，顶点纵坐标最大值是4，而顶点横从标为=a.故最高的顶点坐标是(1，4)；

(6)图象与x轴两个交点的横坐标就是方程x²－2ax+(2a+3)=0的两个根.设这两个根为x₁，x₂.由｜x₁－x₂｜=3，得(x₁－x₂)2=9，即(x₁+x₂)2－4x₁x₂=9.      ①

又x₁+x₂=2a，x₁x₂=2a+3，代入①，得(2a)²－4(2a+3)=9，即4a²－8a－21=0.所以a₁=72，a₂=－32.又a₁，a₂都满足Δ＞0.

答：当a=或a=－时，图象在x轴上截得的线段长为3.

例6  已知

一次函数  y=ax+b  (a，b是整数)   ①

二次函数  y=x²+3，               ②

二次函数  y=x²+6x+7，            ③

二次函数  y=x²+4x+5，            ④

如果：①与②的图象有两个交点；①与③的图象只有一个交点；①与④的图象没有交点.求整数a，b的值.

解：由的x²－ax+(3－b)=0.因为图象有两个交点，所以此二次方程的根的差别式Δ=(－a)²－4(3－b)＞0.             ⑤

由.即x²+(6－a)x+(7－b)=0.Δ=(6－a)²－4(7－b)=0.⑥

答：所求整数为a=2，b=3.

例7  k取什么值时，二次函数y=x²－2(k+4)x+2(k²－2)的图象与x轴的两个交点都在y轴的右侧.

分析：交点的横坐标，就是方程x²－2(k+4)x+2(k²－2)=0.的两个根x₁，x₂.两个交点都在y轴右方，相当于方程两根都是正值.所以应满足以下三个条件；①Δ＞0，②x₁+x₂＞0，③x₁

x₂＞0.

答：时，函数y=x²－2(k+4)x+2(k²－2)的图象与x轴的两个交点都在y轴的右侧.

例8  画出y=｜x｜²－2｜x｜－3的图象.

分析：为了去掉绝对值符号，应分x≥0，x＜0讨论.

解：x≥0时，｜x｜=x，所以y=x²－x－3;当x＜0时，｜x｜=－x，所以y=x²+2x－3，用分段函数表示为的顶点为(1，－4)，与y轴交点为(0，－3)，与x轴交点横坐标为方程x²－2x－3=0的解x₁=3，x₂=－1(舍去).y=x²+2x－3的顶点为(－1，－4)，与y轴交点为(0，－3)与x轴交点横坐标为方程x²+2x－3=0的解x₁=－3，x₂=1舍去.函数图象是图13－112中的实线部分.

例9  如图13－113已知二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴交于点A，B与y轴交于C.顶点是M.

(1)试确定a，b，c的正负号；

(2)如果线段OA的长与OC的长相等，求证：ac=b－1.

解：(1)因为抛物线开口向下，所以a＜0.又抛物线与y轴交点为(0，c)，而此点在x轴上方

，故c＞0.

又顶点在y轴右侧，所以－＞0.而a＜0，所以b＞0.

故y=ax²+bx+c中，a＜0，b＞0，c＞0;

(2)设A点坐标为(x₁，0)则x₁是方程ax²+bx+c=0的一个根.

由点A在y轴左侧，得x₁＜0.又点C与y轴交点为(0，c)且C点在x轴上方，所以c＞0.又由OC长与OA长相等，所以c=－x₁.即x₁=－c.又因为x₁是方程ax²+bx+c=0的一个根，所以x₁=－c适合此方程.即a(－c)²+b(－c)+c=0.ac²－bc+c=0①.由c≠0，①式可除以c，得ac－b+1=0.故ac=b－1.

例10 如图13－114，正方形ABCD的边长为1，在AB和AD上分别取E，F两点，且AE=AF.设四边形CEFD的面积用记号S表示，求S的最大值与最小值.

分析：AE，AF是变量，S是变量x的函数.先列出函数式.

解法1：设AE=x，则S=S_ABCD－SΔ_AEF－SΔ_ACE=1－x²－(1－x)，所以S=－x²+x+

，其中0≤x≤1.

 

这个函数图象的开口向下，顶点为(，)，对称轴为x=，与y轴交于点(0，)，根据轴x对称.它有一个点为(1，).画图时要注意，图象只能画0≤x≤1那一部分.图象是图13

－115中的实线部分.

可知，当x=，S有最大值；当x=0或x=1时，S有最小值.

 

图13－116表示，x=AE=AF=时，S的最大面积.

图13－177表示，x=AE=AF=0时，A，E，F三点重合在一起，这时四边形CEFD的面积就是ΔCAD的面积S=.

图13－118表示，x=AE=AF=1时，E与B重合，D与F重合，这时四边形CEFD面积就是ΔCBD的面积S=.

解法2：S=－x²+x+=－ (x－)²+，其中0≤x≤1.

因为在0与1之间，所以S=－ (x－)²+≤，当x=时，等号成立.即x=时，S有最大值。

又0≤x≤时，y值随x增大而增大，而0是x的最小值，所以S有最小值－×0²+×0+=.又≤x≤1时，y值随x增大而减小，而1是x的最大值，所以S有最小值－×1+×1+=.

(三)作业

1.结合函数y=3x－15的图象，确定当x取什么值时：

(1)y=0;  (2)y＞0；  (3)y＜0；

2.结合函数y=(x－2)²－1的图象，确定当x取什么值时：

(1)y=0;  (2)y＞0；  (3)y＜0;   (4)y有最小值.

3.点(－3，2)是反比例函数图象上一点.

(1)写出这个函数解析式；

(2)画出函数图象；

(3)x取什么值时，函数值小于－1.

4.抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点的横坐标是－，，且与y轴交点的纵坐标是－5，

求这个二次函数的解析式.

5.已知抛物线的对称轴是y轴，并且经过(－3，2)，(2，3).命这个抛物线记号为L.

(1)求抛物线L关于x轴对称的图象的函数解析式；

(2)把抛物线L绕它的顶点旋转180°得到抛物线L′把L′向左平移3个单位，再向下平移2个单位，写出移动后所得抛物线的函数解析式.

作业的答案或提示

1.y=3x－5的图象见图13－119.x=5时，y=0；x＞5时，y＞0时；x＜5时，y＜0.

2.y=(x－2)²=1=x²－4x+3，图13－120.图象与x轴交于点(1，0)，(3，0).x=1，x=3时，y=0;x＜1，x＞3时，y＞0;1＜x＜3时，y＜0.

答：x＜x＜6时，函数值小于－1.

4.由已知条件，得

所求函数解析式为     

5.设抛物线L的解析式为y=ax²+c.①把(－3，2)，(2，3)的坐标代入①式，得

所以抛物线L的解析式为.

(1)如果图13－122，因为抛物线L的顶点为(0，)，它关于x轴的对称点是(0，－).所以抛物线L关于x轴对称的图象的解析式是

(2)抛物线L绕它的顶点旋转180°，得到的抛物线L′的方程是

把L′向左科移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线方程为y=(x+3)²+－2，即.课堂教学设计说明

关于正比例函数、反比例函数，一次函数、二次函数的复习，要掌握它们的性质、图象画法

及这些函数综合在一起的问题.在设计、叙述、讲解时，应时时处处发挥数形结合的作用.

在本课时设计中，先列出了十七项应复习、掌握的内容，使复习有目标、有重点，随后设计

了十个例题.

1.例1与例2是复习正比例函数及一次函数.既有证明题又有填空题.例2要把二元一次方程

先转化为一次函数式，再判断k，b的正负.

2.例3与例4都涉及反比例函数.既要用到“点在图形上”与“坐标适合函数式”的数与形的

转化，还要用到用待定系数法求函数解析式.

3.例5涉及到Δ＜0与二次函数图象和x轴不相交的数形转化，还用图象法解二次不等式及根

与系数关系等.

4.例8在画二次函数图象时，结合了绝对值的概念，并讲述了去掉绝对值符号的方法.

5.例9是一个有关数量关系的证明题，但要用到方程解的几何意义.

6.例10是求二次函数最值的应用题，并且是在自变量限定范围内求最值.因此不仅有最大值

，还存在最小值.为了使学生能透彻地理解，还设计了三个图.说明x=，x=0，x=1时S取

得最大值及最小值的实际意义.

7.在复习课中，注意到知识、方法间的纵横联系、贯通与知识的深化.对于培养学生的思维

品质和综合应用能力有一定的作用.